У математики, односно алґебри, Виєтово формули , хтори достали мено по Франсоа Виєту, формули хтори даваю вязу помедзи нулами єдного полинома и його коефициєнтами.
Кед
P
(
X
)
=
a
n
X
n
+
a
n
−
1
X
n
−
1
+
⋯
+
a
1
X
+
a
0
{\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}}
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{n}\neq 0}
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
n
{\displaystyle n}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
.
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.}
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
=
−
a
n
−
1
a
n
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}}
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
⋯
+
x
1
x
n
)
+
(
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
⋯
+
x
2
x
n
)
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
=
a
n
−
2
a
n
{\displaystyle (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}}
⋯
{\displaystyle \cdots \,}
x
1
x
2
⋯
x
n
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
.
{\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.}
З другима словами, сума шицких можлївих продуктох
k
{\displaystyle k}
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
(
−
1
)
k
a
n
−
k
/
a
n
,
{\displaystyle (-1)^{k}a_{n-k}/a_{n},}
∑
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
k
≤
n
x
i
1
x
i
2
⋯
x
i
k
=
(
−
1
)
k
a
n
−
k
a
n
{\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}
за кажде
k
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle k=1,2,\dots ,n.}
Виєтово формули важа за полиноми зоз коефициєнтами у гоч хторим комутативним персценю, потамаль покля тот полином ступня
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
Виєтово формули ше можу доказац зоз записованьом єднакосци:
a
n
X
n
+
a
n
−
1
X
n
−
1
+
⋯
+
a
1
X
+
a
0
=
a
n
(
X
−
x
1
)
(
X
−
x
2
)
⋯
(
X
−
x
n
)
{\displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}
(цо точне, прето же
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
X
{\displaystyle X}
