Косинусна теорема

Косинусна теорема то формула хтора ше хаснує за ришованє троугелнїка у триґонометрийней ровнї:

\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,

зоз C означени угел страни s, тє. угел медзи странами a и b.

У сферней триґонометриї то формула за ришованє сферного троугелнїка:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,\;\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c,

зоз a означена страна наспрам угла A, страна b наспрам угла B, а страна s наспрам угла S.

Триґонометрия у ровнї

Косинусна теорема ма исту аналитичну форму нєзависно од того чи дати троугелнїк оштроугли (слика 1) або тупоугли (слика 2). Медзитим, звичайно ше доказує кажди од тих двох случайох, як цо поробене у доказу хтори шлїдзи.

Косинусна теорема: У каждим троугелнїку важи $\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,$ дзе наспрам страни a угел α.

Доказ: На слики на право (слика 1) дати оштроугли троугелнїк ABC зоз висину CD. Зоз правоуглих троугелнїкох BCD и ACD по Питаґоровей теореми шлїдзи $a^{2}=h^{2}+(c-p)^{2},\;h^{2}=b^{2}-p^{2},$ a ту зоз заменьованьом доставаме $\ a^{2}=b^{2}+(c^{2}-2pc+p^{2})-p^{2},$ a потим $\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2pc.$ Зоз правоуглого троугелнїка ACD доставаме $p=b\cos \alpha ,\,$ и зоз заменьованьом у прешлей $\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,$ а то и требало доказац.

Слика 2. Тупоугли троугелнїк

Далєй, на слики 2, на лїво, дати тупоугли троугелнїк ABC, зоз углом α при цеменю A, векшим од правого угла (90°). Висина CD = h спущує ше на предлуженє страни AB до точки D так же важи D-A-B, та вонкашнї угел CAD = 180°-α. У троугелнїку CAD важи:

DA =

\ p=b\cos(180^{o}-\alpha )=-b\cos \alpha .

З другого боку, троугелнїки BCD и ACD правоугли и по Питаґоровей теореми важи

a^{2}=h^{2}+(c+p)^{2},\;h^{2}=b^{2}-p^{2},

зоз заменьованьом доставаме

\ a^{2}=b^{2}-p^{2}+(c^{2}+2pc+p^{2})=b^{2}+c^{2}+2pc,

тє.

\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,

як цо и требало доказац. Конєц доказу.

Косинуста теорема ше може доказац єдноставно без огляду на розлични розпорядок, хаснуюци векторски рахунок. У горнїх ознакох,

a^{2}={\overrightarrow {BC}}^{2}=({\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}})^{2}={\overrightarrow {AC}}^{2}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AB}}^{2}=b^{2}-2bc\cos \alpha +c^{2}.

( $\cdot$ означує скаларни продукт.)

Зоз иншаким означованьом троугелнїка, достанєме и други два формули, хтори ше вєдно зоз наведзену наволую косинусна теорема: $b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta ,\;c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .$ Кед, наприклад угел при цеменю S = γ=90°, прето же cos(90°)=0, остатня формула постава $c^{2}=a^{2}+b^{2},$ тє. Питаґорова теорема то окремни случай косунусней теореми. Попри того, косинусна теорема ма ище важни пошлїдки.

Теорема 2: Квадрат гоч хторей страни троугелнїка менши, єднаки або векши од суми квадратох других двох странох, зависно од того чи процивни угел оштри, прави або тупи.

Доказ: Кед $\alpha <90^{o},\,$ теди $\cos \alpha >0\,$ и $a^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha <b^{2}+c^{2}.\,$; Кед $\alpha =90^{o},\,$ теди $\cos \alpha =0\,$ и $c^{2}=a^{2}+b^{2}.\,$; Кед $\alpha >90^{o},\,$ теди $\cos \alpha <0\,$ и $a^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha >b^{2}+c^{2}.\,$ Конєц доказу.

Важи и процивна теорема.

Теорема 3: Угел оштри, прави або тупи зависно од того чи квадрат наспрамней страни троугелнїка шором менши, єднаки або векши од суми квадратох других двох странох.

Доказ: Sledi iz kosinusne teoreme $\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.$; Кед $a^{2}<b^{2}+c^{2},\,$ теди $\cos \alpha >0,\,$ и спрам того $\alpha <90^{o}.\,$; Кед $a^{2}=b^{2}+c^{2},\,$ теди $\cos \alpha =0,\,$ тє. $\alpha =90^{o}.\,$; Кед $a^{2}>b^{2}+c^{2},\,$ теди $\cos \alpha <0,\,$ тє. $\alpha >90^{o}.\,$ Конєц доказу.