Циклоида

Циклоида (од κυκλοειδής - округли ) то крива, хтору описує точка хтора ше находзи на кружнїци круга хтори ше котуля по простей без шлїзканя.

Обична трохоида хтора настава зоз котуляньом єдного круга и при хторим ше точка, хтора описує линию находзи на самим кругу, хтори ше котуля.

История

Аполоний Перґейски, астроном Гипарг зоз Родосу и познєйше Клаудий Птолемей преучуюци рушанє планетох, описали криви хтори ше доставаю кед ше всєленске цело источашнє участвує у двох ротацийох: рушаюци ше по кругу Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} чий ше центер руша по другим кругу Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} '. Тоти криви ше можу описац як фиксирани (нєрухоми) точки круга Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} хтори ше без шлїзканя котуля по нєрухомим кругу Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} '.

У зависносци од одношеня радиюса Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r} и Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r} ' кругох Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} и Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} ', як и од того чи ше круг Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} ротира звонка або знука круга Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} ' постоя два розлични криви.

Кед ше круг Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} ротира звонка по кругу Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} ', одвитуюци криви ше наволую епициклоиди.

Кед ше Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r} < Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r} ' и Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} ротира знука по Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} ', то гипоциклоиди.

Кед ше Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r} > Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r} ' и Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} ротира звонка по Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} ' хтори ше находзи знука Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} , то перициклоиди.

Кед Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} ' нє круг, алє проста, круг Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} ше без треня котуля по простей та ше достава циклоида.

Значи, кед Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} нє круг, алє проста хтора ше без шлїзканя руша звонка по фиксираним кругу Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \kappa} ', крива ше наволує инволута круга.

Ґалилео Ґалилей бул перши науковец хтори озбильно преучовал циклоиди 1599. року, опробовал направиц квадрат истей поверхносци як цо поверхносц попод циклоиду.

Тот проблем коло 1628. року розумел Жил Персон де Риберва од Марина Мерсена и применєл 1634. року хаснуюци Кавалиерийову теорему. Його робота нє була видата по 1693. рок.

Конструкция танґенти циклоиди дата у авґусту 1638. року кед Мерсен научел окремни методи од Риберву, Пєра Ферма и Ренеа Декарта. Мерсен тоти факти прешлїдзел Ґалилеови , а вон потим своїм студентом Торичелийови и Вивиянови, хторим ше поспишело направиц који квадритуру циклоиди.

Року 1673., Кристиян Гайгенс направел циклоидни пендулум пре полєпшованє ради хронометра и так одкрил же часточка прави драгу у форми инверзного циклоидного луку, нєзависно од єй початней точки.

Року 1686., Ґотфрид Вилхелм Лайбниц вихасновал аналитичну ґеометрию же би описал криву зоз єдну єдначину.

Циклоида ше зявює як ришенє найстаршого проблему, нєшка барз важного конара математики– варияционого рахунку. То проблем брахистохрони, хтори поставел Йоган Бернули 1696. року, а ришовали го Нютн, Лайбниц, Якоб Бернули и Лопитал.

Примена

Циклоидни лук на Кимбеловим музею уметносци

Челїчни зубчанїки

Циклоидни дизайн нашол примену у архитектури Кимбел музею уметносцох у Тексасу, хтори дизайновал Луис Кан.

Попри архитектури, циклоидни дизайн ше ище хаснує у вирабяню музичних инструментох, як и у машинстве.

Єдначина

Циклоида, хтора настава зоз котуляньом круга полупречнїка r = 2

Єдначина циклоиди, хтора преходзи през координатни початок, а настава зоз котуляньом круга полупречнїка Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r} :

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle x = r(t - \sin t)\,}

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle y = r(1 - \cos t)\,}

У тей єдначини Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle t} параметер хтори одвитує углу ротациї круга.

Кед ше єдначина риши по пременлївей t, доставаме єдначину циклоиди у Декартових координатох:

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle x = r \cos^{-1} \left(1-\frac{y}{r}\right)-\sqrt{y(2r-y)}}

Перши лук циклоиди творя точки за хтори важи:

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle 0 \le t \le 2 \pi.\,}

Циклоида представя ришенє диференциялней єдначини:

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}.}

Проблем брахистохрони

Йоган Бернули 1696. року поставел проблем брахистрохрони. За гоч хтори задати точки A и B у вертикалней ровнї потребне одредзиц єдначину кривей по хторей би ше рушала материялна точка под дїйством ґравитацийней сили, так же би тоту оддалєносц прешла за найкратши можлїви час.

Брахистохрона

Тота крива то циклоида, а проблем представял початок розвиваня варияционого рахунку.

Проблем ришовали Исак Нютн, Якоб Бернули, Ґийом де Лопитал и Ґотфрид Вилхелм Лайбниц.

Поверхносц

Лук циклоиди задати зоз:

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle x = r(t - \sin t),\,}

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle y = r(1 - \cos t),\,} и зоз условийом:

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle 0 \le t \le 2 \pi.\,}

Прето же:

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dt} = r(1- \cos t),}

теди поверхносц попод єден лук виноши:

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \begin{align} A &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt \\ &= \left. r^2 \left(\frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} \\ &= 3 \pi r^2. \end{align}}

Длужина луку циклоиди

Длужина єдного луку циклоиди:

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \begin{align} S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \left(\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\right)^{1/2} \, dt \\ &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} r \sqrt{2-2\cos(t)} \, dt \\ &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} 2r \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt \\ &= 8 r. \end{align}}

Длужину луку циклоиди перши вираховал Кристофер Рен 1658.

Криви зоз фамилиї циклоидох

Зоз циклоидами повязани:

• Скрацена циклоида, хтора представя криву хтору описує точка на гоч якей оддалєносци Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle a} од центру круга радиюса Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r} , алє так же Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r>a} . Параметарска єдначина скраценей циклоиди то:

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle x = rt - a\sin t\,}

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle y = r - a\cos t\,}

• Предлужена циклоида, хтора представя криву хтору описує точка на гоч якей оддалєносци Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle a} од центру круга радиюса Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r} , алє так же Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r<a} . Параметарска єдначина скраценей циклоиди то:

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle x = rt - a\sin t\,}

Рашчлањивање није успело (SVG (MathML се може укључити преко плугина за прегледач): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/rsk.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle y = r - a\cos t\,}

• трохоида - скрацена и предлужена циклоида припадаю ґрупи трахоидох
• епициклоида, хтора представя криву, хтору описує точна на кружнїци, хтора ше котуля по вонкашнїм обсягу другей нєрухомей кружнїци
• гипоциклоида, хтора представя криву, хтору описує точна на кружнїци, хтора ше котуля по нукашнїм обсягу другей нєрухомей кружнїци

Eпициклоида

Гипоциклоида

Опать ище

• епициклоида
• гипоциклоида
• трохоида
• епитрохоида
• гипотрохоида

Литература

• Циклоида
• Скрацена циклоида
• Предлужена циклоида